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    裴波那契數列通項公式（裴波那契數列）-焦點播報
    
      
    
        
     2023-05-01 17:51:15來源：聚焦網  
    
        
         
    
        
    
         
      
    
      
    
      
        
      		  
	 
        
     

    (資料圖)
    1、斐波那契數列指的是這樣一個數列：2、3、5、8、13、2……這個數列從第三項開始，每一項都等于前兩項之和。
    2、隨著數列項數的增加，前一項與后一項之比越來越逼近黃金分割的數值0.6180339887……起源1202年數學家菲波那契提出了一個著名的兔子問題：假定一對兔子從第三個月起逐月生一對一雌一雄的小兔，每對小兔在兩個月后也逐月生一對一雌一雄的小兔，…。
    3、問一年之后兔房里共有多少對兔子？ 　　菲波那契是這樣來考慮的：設第n個月后兔房里的兔子數為an對，這an應由以下兩部分組成：一部分是第n﹣1個月時已經在兔房里的兔子，它們有an﹣1對；另一部分是第n個月中新出世的，而這部分應有第n﹣2個月時兔房里的兔子所生，有a n﹣2對。
    4、 　　∴有遞推關系式(An+1)=(An)+(An-1)（n∈N且n＞2），且易知A1=A2 =1。
    5、由這個遞推關系式可以得到一年后的兔子對數A12=141。
    6、這也是遞推方法應用的一個最著名的例子。
    7、 　　按照如上的遞推，菲波拉契數列前幾項如下： 　　1 1 2 3 5 8 13 21…… 　　從數學上，該數列也是可以推導出通項公式的，其通項公式推導如下： 　　(An+1)=(An)+(An-1),將An項分解為(((1+√5)/2)+((1-√5)/2))(An)，然后移項，得到下式： 　　(An+1)-((1+√5)/2)(An)=((1-√5)/2)(An)+(An-1) 　　即(An+1)-((1+√5)/2)(An)=((1-√5)/2)((An)-((1+√5)/2)(An-1)) 　　即新數列{(An)+((1+√5)/2)(An-1)}是以((1-√5)/2)為首項，((1-√5)/2)為公比的等比數列 　　即(An)-((1+√5)/2)(An-1)=((1-√5)/2)^n 　　即(An)=((1+√5)/2)(An-1)+((1-√5)/2)^n 　　兩邊同時除以((1+√5)/2)^n，得又一新數列(Bn)=(Bn-1)+(((1-√5)/2)^n)/(((1+√5)/2)^(n+1)) 　　其中，(Bn)=An/(((1+√5)/2)^n) 　　依次遞歸，得到(Bn)=((1+√5)/2)^(-1)+2*(((1-√5)/(1+√5)^2)+(((1-√5)^2)/(1+√5)^3)+……+(((1-√5)^(n-1))/(1+√5)^n)) 　　將Bn帶入，化簡，得到An=((((1+√5)/2)^n)-(((1-√5)/2)^n))/(√5) 　　(注√表示根號) 　　該數列有以下幾個性質： 　　1.隨著數列項數的增加，前一項與后一項之比越逼近黃金分割比 　　2.從第二項開始，每個奇數項的平方都比前后兩項之積多1，每個偶數項的平方都比前后兩項之積少1 　　3.如果任意挑兩個數為起始，按照菲波拉契數列的形勢遞推下去，隨著數列的發展，前后兩項之比也越來越逼近黃金分割比，且某一項的平方與前后兩項之積的差值也交替相差某個值(菲波拉契數列的推廣)。
    本文到此分享完畢，希望對大家有所幫助。
              
    
        
    
      
    
	
      
    
       
      
    
	
	

    

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