裴波那契數(shù)列通項公式（裴波那契數(shù)列）-焦點(diǎn)播報

2023-05-01 17:51:15來源：聚焦網(wǎng)

(資料圖)

1、斐波那契數(shù)列指的是這樣一個數(shù)列：2、3、5、8、13、2……這個數(shù)列從第三項開始，每一項都等于前兩項之和。

2、隨著數(shù)列項數(shù)的增加，前一項與后一項之比越來越逼近黃金分割的數(shù)值0.6180339887……起源1202年數(shù)學(xué)家菲波那契提出了一個著名的兔子問題：假定一對兔子從第三個月起逐月生一對一雌一雄的小兔，每對小兔在兩個月后也逐月生一對一雌一雄的小兔，…。

3、問一年之后兔房里共有多少對兔子？　　菲波那契是這樣來考慮的：設(shè)第n個月后兔房里的兔子數(shù)為an對，這an應(yīng)由以下兩部分組成：一部分是第n﹣1個月時已經(jīng)在兔房里的兔子，它們有an﹣1對；另一部分是第n個月中新出世的，而這部分應(yīng)有第n﹣2個月時兔房里的兔子所生，有a n﹣2對。

4、　　∴有遞推關(guān)系式(An+1)=(An)+(An-1)（n∈N且n＞2），且易知A1=A2 =1。

5、由這個遞推關(guān)系式可以得到一年后的兔子對數(shù)A12=141。

6、這也是遞推方法應(yīng)用的一個最著名的例子。

7、　　按照如上的遞推，菲波拉契數(shù)列前幾項如下：　　1 1 2 3 5 8 13 21…… 　　從數(shù)學(xué)上，該數(shù)列也是可以推導(dǎo)出通項公式的，其通項公式推導(dǎo)如下：　　(An+1)=(An)+(An-1),將An項分解為(((1+√5)/2)+((1-√5)/2))(An)，然后移項，得到下式：　　(An+1)-((1+√5)/2)(An)=((1-√5)/2)(An)+(An-1) 　　即(An+1)-((1+√5)/2)(An)=((1-√5)/2)((An)-((1+√5)/2)(An-1)) 　　即新數(shù)列{(An)+((1+√5)/2)(An-1)}是以((1-√5)/2)為首項，((1-√5)/2)為公比的等比數(shù)列　　即(An)-((1+√5)/2)(An-1)=((1-√5)/2)^n 　　即(An)=((1+√5)/2)(An-1)+((1-√5)/2)^n 　　兩邊同時除以((1+√5)/2)^n，得又一新數(shù)列(Bn)=(Bn-1)+(((1-√5)/2)^n)/(((1+√5)/2)^(n+1)) 　　其中，(Bn)=An/(((1+√5)/2)^n) 　　依次遞歸，得到(Bn)=((1+√5)/2)^(-1)+2*(((1-√5)/(1+√5)^2)+(((1-√5)^2)/(1+√5)^3)+……+(((1-√5)^(n-1))/(1+√5)^n)) 　　將Bn帶入，化簡，得到An=((((1+√5)/2)^n)-(((1-√5)/2)^n))/(√5) 　　(注√表示根號) 　　該數(shù)列有以下幾個性質(zhì)：　　1.隨著數(shù)列項數(shù)的增加，前一項與后一項之比越逼近黃金分割比　　2.從第二項開始，每個奇數(shù)項的平方都比前后兩項之積多1，每個偶數(shù)項的平方都比前后兩項之積少1 　　3.如果任意挑兩個數(shù)為起始，按照菲波拉契數(shù)列的形勢遞推下去，隨著數(shù)列的發(fā)展，前后兩項之比也越來越逼近黃金分割比，且某一項的平方與前后兩項之積的差值也交替相差某個值(菲波拉契數(shù)列的推廣)。

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